Sistemas de funciones ortogonales

trabajamos con funciones: $f:\bbbr\longrightarrow \bbbr$ (a veces: $f:\bbbr\longrightarrow \bbbc$ o $f:\bbbc\longrightarrow \bbbc$)

podemos escribir una función $f$ como combinación lineal de una colección de funciones $\varphi_k$ siendo $k$ tomado de un conjunto de índices finito o infinito

$$f = \sum_k c_k\varphi_k$$

p.ej.: series de Fourier

Por qué?

• a lo mejor se puede encontrar para un problema fácilmente soluciones para las funciones $\varphi_k$ y con esas soluciones se puede derivar una solucion para $f$

  p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los $\varphi_k$, se puede derivar su compartamiento para $f$

• a lo mejor ciertas características de la función $f$ se puede observar mejor entre los coeficientes $c_k$ (y aprovechar de ello)

  p.ej.:

  • Qué frecuencias están ``dentro'' de una señal acustica?
  • Tiene una imagen cierta textura?
  • Tiene $f$ discontinuidades?
  • ...

otras preguntas parecen interesante:

• Cuáles de las posibles funciones $f$ se puede representar de tal forma?
• Son los coeficientes $c_k$ únicos?
• Cómo se calcula los $c_k$ (dados los $\varphi_k$ y $f$)?