Funciones como combinaciones lineales

retomamos la representación de $f$ de antes:

$$f = \sum_k c_k\varphi_k$$

donde $(\varphi_k)_{k\in J}$ es una colección de funciones indizadas con índices tomados del conjunto $J\subset\bbbr$ (finito o infinito)

calcular los coeficientes $c_k$ es fácil (ya lo vimos) si los $\varphi_k$ forman un sistema ortonormal de funciones, es decir

$$\langle\varphi_i,\varphi_j\rangle =\delta_{ij} =\left\{\begin{array}{c@{\quad;}l}1&i=j\ 0&\mbox{sino}\end{array}\right.$$

$\delta_{ij}$ se llama símbolo de Kronecker

$$\begin{eqnarray*} f &=& \sum_k c_k\varphi_k \quad\vert\cdot \varphi_j \\ \lan... ...=0, \mbox{si}\;j\not=k} \\ \langle f,\varphi_j\rangle &=& c_j \end{eqnarray*}$$

o bien

$$c_k = \langle f,\varphi_k\rangle \quad\forall k \in J$$

si $(\varphi_k)_{k\in J}$ sólo es ortogonal (pero no ortonormal) tenemos

$$c_k = \frac{\langle f,\varphi_k\rangle }{\langle\varphi_k,\varphi_k\rangle } \quad\forall k \in J$$

entonces tenemos como respuestas a las tres preguntas

• Cómo se calcula los $c_k$ (dados los $\varphi_k$ y $f$)?
  con la fórmula arriba
• Son los coeficientes $c_k$ únicos?
  si
• Cuáles de las posibles funciones $f$ se puede representar de tal forma?
  clases de teoría de funciones, las funciones que vamos a encontrar en la práctica suelen caer en dicha clase