Algebra de vectores

repetimos un poco de álgebra con vectores en el plano (espacio vectorial de dimensión 2)

si dos vectores $u$ y $v$ son linealmente independiente podemos escribir cualquier vector $w$ como

$$w=c_0u+c_1v$$

si los vectores están dados dentro de un sistema de coordenadas ortonormal, tenemos

$$\left(\begin{array}{c}x_w\ y_w\end{array}\right)= c_0\lef... ...right)+ c_1\left(\begin{array}{c}x_v\ y_v\end{array}\right)$$

calculamos $c_0$ y $c_1$ a base de este sistema lineal

$x_w=c_0x_u+c_1x_v$
$y_w=c_0y_u+c_1y_v$
$x_wy_u=c_0x_uy_u+c_1x_vy_u$		$x_wy_v=c_0x_uy_v+c_1x_vy_v$
$y_wx_u=c_0y_ux_u+c_1y_vx_u$		$y_wx_v=c_0y_ux_v+c_1y_vx_v$
$x_wy_u-y_wx_u=c_1x_vy_u-c_1x_uy_v$		$x_wy_v-y_wx_v=c_0x_uy_v-c_0x_vy_u$
$c_1=\frac{\displaystyle x_wy_u-y_wx_u}{\displaystyle x_vy_u-x_uy_v}$		$c_0=\frac{\displaystyle x_wy_v-y_wx_v}{\displaystyle x_uy_v-x_vy_u}$
con $u^\prime\bot u$, es decir, $u^\prime= \left(\begin{array}{c}-y_u\ x_u\end{array}\right)$		con $v^\prime\bot v$, es decir, $v^\prime= \left(\begin{array}{c}y_v\ -x_v\end{array}\right)$
$c_1=\frac{\displaystyle \langle w,u^\prime\rangle }{\displaystyle \langle v,u^\prime\rangle }$		$c_0=\frac{\displaystyle \langle w,v^\prime\rangle }{\displaystyle \langle u,v^\prime\rangle }$

si $u$ perpendicular a $v$ ($u\bot v$), es decir, $u=\alpha v^\prime$ y $v=1/\alpha u^\prime$ tenemos:

$$c_0=\frac{\langle w,u\rangle }{\langle u,u\rangle } \qquad c_1=\frac{\langle w,v\rangle }{\langle v,v\rangle }$$

se puede derivar también directo:

$$w=c_0u+c_1v \qquad \vert\cdot u$$

$$\langle w,u\rangle =c_0\langle u,u\rangle +c_1\langle v,u\rangle \qquad \vert \langle v,u\rangle =0$$

$$c_0=\frac{\langle w,u\rangle }{\langle u,u\rangle }$$

si adicionalmente $\langle u,u\rangle =\langle v,v\rangle =1$, es decir, los vectores son normalizados, calcular los coeficientes es fácil:

$$c_0=\langle w,u\rangle \qquad c_1=\langle w,v\rangle$$

es decir

$$w=\langle w,u\rangle u+\langle w,v\rangle v$$