Affine Abbildungen

Affine Vektorabbildung

Man möchte lineare Abbildungen $\Phi$ betrachten, d.h. Geraden vor der Abbildung bleiben Geraden nach der Abbildung, also muss die Abbildung $\Phi$ speziell mit der Skalarmultiplikation und der Vektoraddition verträglich sein:

$$\Phi:\bbbr^3\longrightarrow \bbbr^3; {\vec v}\longrightarrow {\vec v}^{\prime}$$

und zwar so dass

$$\forall\,{\vec v}_1,{\vec v}_2\in\bbbr^3, \alpha,\beta\in\bbbr$$

gilt

$$\Phi(\alpha{\vec v}_1+\beta{\vec v}_2)=\alpha\Phi({\vec v}_1)+\beta\Phi({\vec v}_2)$$

in Worten heißt dies: es soll egal sein, ob man die Vektoren vor oder nach Anwendung der Abbildung streckt/kürzt oder addiert.

Multipliziert man einen Vektor von links mit einer Matrix, so stellt dies eine affine Vektorabbildung dar:

$$\Phi({\vec v}) = A\cdot{\vec v}\quad\mbox{mit}\quad A\;3\times3\;\mbox{Matrix}$$

Dies sieht man leicht durch Anwenden der entsprechenden Rechenregeln für Vektoren und Matrizen ein:

$$\begin{eqnarray*} \Phi(\alpha{\vec v}_1+\beta{\vec v}_2) &=& A\cdot(\alpha{\v... ...a{\vec v}_2\\ &=& \alpha\Phi({\vec v}_1)+\beta\Phi({\vec v}_2) \end{eqnarray*}$$

Ist die Matrix $A$ singulär, dann bezeichnet man die affine Abbildung als entartet (hierzu zählen die Projektionen).

Im Folgenden betrachten wir--sofern nicht speziell vermerkt--nur nicht-entartete affine Abbildungen.

Affine Punktabbildungen

$$\Phi({\vec v}) = A\cdot{\vec v}+{\vec c}$$

Der Verschiebungsvektor ist bereits eindeutig festgelegt, wenn man sich die Matrix $A$ und einen Punkt mit seinem Bildpunkt vorgibt.

Insbesondere kann man eine affinepointaffine Punktabbildung konstruieren, wenn man sich lediglich vier nicht in einer Ebene liegende Punkte und deren gewünschten Bildpunkte vorgibt:

$$\begin{eqnarray*} A &=& ({\vec x}_1^{\prime}-{\vec x}_0^{\prime}\;{\vec x}_2^{\... ...}_0)^{-1} \\ &&\\ {\vec c}&=& {\vec x}_0^{\prime}-A{\vec x}_0 \end{eqnarray*}$$

Eigenschaften der affinen Abbildungen:

• $\det(A)=0$ entartete affine Abbildung
• falls $\vert\det(A)\vert=1$ dann bleibt Volumen eines Spates erhalten
• Parallelen bleiben Parallelen
• Ebenen bleiben Ebenen
• Strahlensätze bleiben erhalten
• nennt man auch: Starrekörperabbildung (rigid body transformation)