Berechnungsmodelle

Zur besseren Gliederung und einfacheren Referenzierung werden im folgenden die Modelle in der Reihenfolge ihres Auftretens nummeriert. Die Modelle sollten nicht nur für einen speziellen Darstellungsalgorithmus angesehen werden, sondern sie können je nach erforderlichen Parameter für die verschiedenen Verfahren genutzt werden.

Generell sei bemerkt, dass eine Lichtquelle in Richtung $\vec{L}$ nur dann einen Beitrag zur Intensität an einer Oberfläche mit Normalenvektor $\vec{N}$ leistet, wenn gilt:

$$\cos\delta=\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \geq 0$$

d.h. im Folgenden wird, wenn es nicht explizit anders gesagt wird, das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null gesetzt, wenn es negativ sein sollte.

Modelle für ambiente Reflexion

Modell 1

(Bouknight 1970)

$$I_a = k_a\;I$$

Das ambiente Modell bleibt mithilfe des Superpositionsprinzip in den Darstellungsmodellen erhalten, d.h. dort wird ein Teil der Intensität aufgrund obiger Vorschrift berechnet. Dies garantiert eine Grundhelligkeit in der darzustellenden Szene, da gerade viele Verfahren die indirekte, diffuse Beleuchtung von Oberflächen durch Reflexionen von anderen Objekten ungenügend modellieren. Eine Ausnahme bildet das Radiosity-Verfahren, das speziell diesen Aspekt der Beleuchtung berücksichtigt.

Vorgreifend auf die abschließende Zusammenfassung sei hier schon gesagt, dass alle Beleuchtungsmodelle (mit Ausnahme von Radiosity) die Intensität an einem Punkt gemäß folgender Vorgehensweise berechnen:

$$I=I_a+I_d+I_s+I_t$$

wobei $I_a$ den ambienten Intensitätsanteil, $I_d$ den aufgrund diffuser Reflexionseigenschaften gegebenen Intensitätsanteil, $I_s$ den aufgrund von spiegelnder Reflexionseigenschaften gegebenen Intensitätsanteil und $I_t$ den aufgrund der Transparenz der Oberfläche entstehenden Intensitätsanteil beschreibt. Es wird also in allen Fällen das einfache Superpositionsprinzip angewendet.

Cook und Torrence führten einen durch die Geometrie der Szene bestimmten Abschwächungsfaktor $f$ ein, der den ambienten Intensitätsanteil beeinflussen soll. ($k_a$ ist ein Objektparameter und $I_a$ ein der gesamten Szenen gegebener Parameter.)

Modell 2

(Cook und Torrance 1981)

$$I_a = k_a\;f\;I$$

Allerdings wird dessen Berechnung nicht weiter ausgeführt. Man könnte ihn als eine frühe Vorwegnahme des Radiosity-Ansatzes interpretieren.

Modelle für diffuse Reflexion

Hier wird die Position des Betrachters nicht berücksichtigt, d.h. die darzustellende Intensität ist nicht vom Betrachterwinkel $\vec{V}$ abhängig.

Modell 3

(Bouknight 1970)

$$I_d = k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L$$

was bei punktförmigen Lichtquellen zu

$$I_d = k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L$$

führt und bei unendlich weit entfernten Punktquellen, d.h. parallelem Lichteinfall, wie folgt vereinfacht werden kann

$$I_d = k_d\;\langle \vec{N},\vec{E_z}\rangle \;I_L$$

wenn durch Koordinatentransformation der Lichtvektor $\vec{L}=(0,0,1)^T$ ist.

Sind $l$ Lichtquellen vorhanden, erhält man durch Superposition:

$$I_d = k_d\;\sum_{i=1}^l\langle \vec{N},\vec{L_i}\rangle \;I_{Li}$$

Dieses Superpositionsprinzip kann sinngemäß auf alle folgenden Modelle angewandt werden und wird vereinfachend nicht stets explizit angegeben.

Bis jetzt wurde die Betrachterposition sowie die Entfernung zur Lichtquelle noch nicht berücksichtigt.

Modelle für diffuse Reflexion mit Entfernungsberücksichtigung

An dieser Stelle seien zwei frühe, einfache, empirisch begründete Modelle angeführt, die zur Darstellung von ``Grau-Szenen'' verwendet worden sind, mehr wohl mit dem Hintergrund, Ergebnisse von Darstellungsalgorithmen zu dokumentieren. Insbesondere ist die Intensität einer Oberfläche nicht von der Entfernung der Oberfläche von der Lichtquelle, sondern von der Entfernung vom Betrachter abhängig.

Modell 4

(Warnock 1969)

$$I_d = \frac{\vert\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \vert}{\vert\vec{V}\vert}$$

Modell 5

(Romney 1969)

$$I_d = k\;\frac{\langle \vec{N},\vec{L}\rangle ^2}{\vert\vec{V}\vert^4}$$

Hier wurden die Flächen auch von hinten gezeichnet; es gab anscheinend noch keine komplexeren Objekte, wie sie heute verwendet werden. Hier kann das Skalarprodukt auch negativ sein.

Die Lichtquellen wurden bisher als Punktlichtquellen modelliert, was keine Berechnung von Raumwinkeln, aus denen ein Objekt beleuchtet wird, erlaubt. Insbesondere sinkt die Intensität mit wachsender Entfernung von der Lichtquelle mit $1/r_0^2$, wie wir oben gesehen haben.

Modell 6

(Cook und Torrance 1981)

$$I_d = k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;d\Omega\;I_L$$

Dabei ist $d\Omega$ der Raumwinkel, unter dem die Lichtquelle von der Fläche aus gesehen wird.

Mögliche Interpretation: Modelliert man die Lichtquellen als Kugeln und sind sie weit von der bestrahlten Fläche entfernt (Abstand $\vert\vec{L}\vert$), kann man die Näherung

$$d\Omega = \frac{dS}{\vert\vec{L}\vert^2}\cos\delta_S$$

anwenden. Es gilt weiterhin

$$\cos\delta_S = 1$$

da die Lichtquelle eine Kugel ist. Wählt man den Radius der Kugeln so, dass für die Fläche $dS=1$ gilt oder integriert man die Größe der Lichtquelle in deren Intensität $I_L$, erhält man

Modell 7

$$I_d = \frac{k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L}{\vert\vec{L}\vert^2}$$

Nun kann man auch das Abschwächen der Strahlung auf dem Weg der Länge $\vert\vec{V}\vert$ vom Objekt zum Betrachter berücksichtigen:

Modell 8

(van Dam 1984)

$$I_d = \frac{k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L}{(\vert\vec{L}\vert+\vert\vec{V}\vert)^2}$$

Mögliche Interpretation: Eigentlich müsste die Entfernung zum Betrachter wie folgt in das Modell eingebaut werden:

Modell 9

$$I_d = \frac{k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L}{\vert\vec{L}\vert^2\vert\vec{V}\vert^2}$$

Da die reflektierte Intensität--sozusagen, ab dem Punkt ihrer Erzeugung--quadratisch mit dem Abstand vom Betrachter abnimmt. Dieses belegt auch möglicherweise die frühen, guten Ergebnisse von Romney (Modell 5).

Modell 6 hat den Nachteil, dass der Raumwinkel $d\Omega$ der Lichtquelle bekannt sein muss. Verwendet man die Näherung (Modell 7) oder auch die Modelle 8 und 9, die jeweils den Abstand berücksichtigen, ergeben sich zwei Probleme: bei unendlich weit entfernten Lichtquellen kann die Gleichung nicht verwendet werden, bei geringem Abstand zwischen Lichtquelle und Objekt ist die Näherung nicht gültig und man erzielt schlechte Resultate. Deshalb wurden weiter folgende Lösungen vorgeschlagen:

Modell 10

(Foley und van Dam 1984 ?)

$$I_d = \frac{k_d\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L}{\vert\vec{V}\vert+d_k}$$

Die Modelle 7 bis 10 kann man wie folgt zusammenfassen:

Modell 11

(Foley und van Dam 1990)

$$I_d = k_d\;d_{att}\;\langle \vec{N},\vec{L}\rangle \;I_L$$

wobei $d_{att}$ ein sogenannter Abschwächungsfaktor (attenuation factor) ist; hier bezüglich der Entfernung. Mit Hilfe von Abschwächungsfaktoren können auch andere Effekte, wie Atmospheren, modelliert werden. Weitere Möglichkeiten der Beeinflussung der Eigenschaften der Lichtquelle werden in späteren Abschnitten erläutert.

(Hier würde es mit Radiosity weitergehen.)

Modelle für spiegelnde Reflexion

Eines der ersten, frühen Modelle ist:

Modell 12

(Warnock 1969 ?)

$$I_s = \frac{\langle \vec{N},\vec{L}\rangle ^m}{\vert\vec{V}\vert}$$

Lichtquelle und Betrachter müssen im gleichen Punkt liegen. Eine Verbesserung wurde von Phong vorgeschlagen:

Modell 13

(Phong 197?)

$$I_s = k_s\;\langle \vec{R},\vec{V}\rangle ^m\;I_L$$

Die Größe der Materialkonstanten $m$ bestimmt die Größe eines Schlaglichtes (highlights) auf der bestrahlten Fläche. Ursprünglich war $k_s$ ein vom Einfallswinkel $\delta$ abhängiger Materialparameter, der empirisch bestimmt wurde. Foley und van Dam benutzen allerdings später nur eine Konstante und erhalten trotzdem ``zufriedenstellende'' Bilder, allerdings wird wiederum die Entfernung vom Betrachter eingebracht:

Modell 14

(Foley und van Dam 1984 ??)

$$I_s = \frac{k_s\;\langle \vec{R},\vec{V}\rangle ^m\;I_L}{\vert\vec{V}\vert+d_k}$$

Um nun nicht den Reflexionsvektor $\vec{R}$ berechnen zu müssen, kann man ihn durch den Halbvektor $\vec{H}$ und den Betrachtervektor $\vec{V}$ durch den Normalenvektor $\vec{N}$ ersetzen. Es gilt also:

$$\vec{H} = \frac{1}{2}(\vec{L}+\vec{V})$$

Modell 15

(Blinn 1977)

$$I_s = k_s\;\langle \vec{H},\vec{N}\rangle ^m\;I_L$$

Analog kann man wiederum den Abstand integrieren:

Modell 16

(Foley und van Dam 1984 ??)

$$I_s = k_s\frac{\langle \vec{H},\vec{N}\rangle ^m\;I_L}{\vert\vec{V}\vert+d_k}$$

Yang führte ein modifiziertes Modell nach Phong ein, bei dem der highlight-Faktor geringfügig anders berechnet wird:

Modell 17

(Yang 1987)

$$I_s = k_s\;\left(\frac{\langle \vec{V},\vec{R}\rangle +1}{2}\right)^m\;I_L$$

Modelle mit Berücksichtigung der Oberflächenrauheit

Die oben gemachte Modellierung der Oberflächeneigenschaften kann wie folgt in die Berechnung der Intensität integriert werden:

Modell 18

(Blinn 1977)

$$I_s = k_s\frac{D_{att}G_{att}F_{att}}{\langle \vec{N},\vec{V}\rangle }I_L$$

Dabei benutzt Blinn $G_{att}=G_{TS}$ und für $D_{att}$ die Verteilungen $D_{P}$, $D_{TS}$ und $D_{TR}$. Hierbei stellt er fest, dass die Verteilungen sich sehr ähnlich sind. Fordert man, dass $D_{att}=\frac{1}{2}$ für alle drei Verteilungen an der gleichen Stelle $\alpha=\arccos\langle \vec{N},\vec{H}\rangle$ ist, kann man die Materialkonstanten $Ns$, $C_1$ und $C_2$ auf einen einzigen Winkel $\beta$ als Materialkonstante zurückführen:

$$\begin{eqnarray*} Ns&=&-\frac{\ln(2)}{\ln(\cos\beta)} \\ C_1&=&\frac{\sqrt{\l... ...ta} \\ C_2&=&\sqrt{\frac{\cos^2\beta-1}{\cos^2\beta-\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$$

Modell 19

(Cook und Torrance 1982)

$$I_s = k_s\frac{D_{BB}G_{TS}F_{att}}{\langle \vec{N},\vec{V}\rangle }I_L$$

Auch hier kann die Konstante $m$ in $D_{B}$ wieder auf den Winkel $\beta$ zurückgeführt werden:

$$m^2=-\frac{\tan^2\beta}{\ln(\frac{1}{2}\cos^4\beta)}$$

Test lassen jedoch die Formel

$$m=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(1+\sqrt{\tan\beta})$$

besser erscheinen.

Dieses Modell geht davon aus, dass die Oberflächen relativ rauh gegenüber der Wellenlänge des Lichtes sind, da nur die letzte Gleichung der Beckmannschen Gleichungen verwendet worden ist. Insbesondere heißt dies, dass man die Verteilung nicht für sehr glatte, spiegelnde Oberflächen einsetzen sollte.

Für die geometrische Abschwächung kann auch die Funktion $G_S$ nach Sancer in den Modellen 18 und 19 eingesetzt werden.

Neuere Modelle

Torrance und Greenberg führten 1991 ein neues, physikalisch begründetes Modell ein, das auch in der Lage ist, Polarisationseffekte zu beschreiben. Auf die Polarisationseffekte wird hier nicht eingegangen, sondern lediglich das vereinfachte Modell wiedergegeben, welches die Abschwächungsfaktoren, wie sie weiter oben erläutert worden sind, verwendet. Ein wesentlicher Punkt in diesem Modell ist die Tatsache, dass der spiegelnde Intensitätsanteil erneut in zwei Anteile aufgespalten worden ist. Für den diffusen Lichtanteil $I_d$ wird weiterhin das Modell 6 benutzt.

Modell 20

(Torrance und Greenberg 1991)

$$\begin{eqnarray*} I_s&=&I_{ss}+I_{sd} \\ I_{ss}&=& k_{ss}F_{att}e^{-g}S_{SB}\... ...d}\frac{D_{TG}G_{TG}F_{att}}{\langle \vec{N},\vec{V}\rangle }I_L \end{eqnarray*}$$

$S_{SB}$ ist die Selbstbeschattungsfunktion nach Smith und Bruce. $\Delta$ ist eine Delta-Funktion, die entscheided, ob der betrachtete Strahl im sogenannten Spiegelkegel liegt, d.h. einem kleinen Raumwinkel, indem man spiegelnde Reflexion erwartet. Man kann $\Delta$ z.B. wie folgt berechnen:

$$\begin{eqnarray*} \Delta&=&\left\{\begin{array}{ll} 1 & \langle \vec{V},\vec{R}\rangle \leq \gamma \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

wobei der Winkel $\gamma$ entweder eine Materialkonstante oder auch eine Szenenkonstante sein kann.

Modelle für Transparenz

Das einfachste Modell berücksichtigt keine Brechungseffekte und macht die Annahme von unendlich dünnen Oberflächen:

Modell 21

$$I = (1-k_t)I_t+k_t\;I_r$$

Dabei ist $I_t$ die Intensität, die durch das im Hintergrund liegende Objekt erzeugt wird. $I_r$ ist der Teil der Intensität, der ohne Transparenz berechnet würde. Man erkennt, das dieses Modell einfach eine lineare Interpolation der beiden Intensitäten ist. $k_t$ gibt die Transmissionsrate an.

In einfachen Darstellungsalgorithmen kann man die Transparenzrate von der Dicke des Objektes in Blickrichtung (vorallem bei parallel Projektionen) abhängig machen. Dies wurde von Crow wie folgt vorgeschlagen:

Modell 22

(Newell and Sancha 1972, bzw. Crow 1978)

$$k_t = (k_{tmax}-k_{tmin})(1-(1-N_z)^p)+k_{tmin}$$

Die Berechnung der Intensität bleibt analog zu Modell 20. Hierbei ist vereinfachend davon ausgegangen, dass der Betrachter in $z$-Richtung blickt.

Die Modellierung von Transparenz ist wesentlich schwieriger als die von Reflexion und wurde auch nicht so stark verfolgt wie diese. Das folgende Modell beinhaltet viele Vereinfachungen, kann jedoch für einzelne Strahlverfolgungen nach dem Snellschen Gesetz eingesetzt werden.

Modell 23

(Hall 1981)

$$k_t = \frac{1-\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2} {1+\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2}$$

Der Brechungsindex ist von der Wellenlänge abhängig, was man für Dispersion ausnutzen kann. Bei transparenten Materialien muss man berücksichtigen, dass beim Verlauf der Strahlung durch das Material eine Abschwächung $a_{att}$--analog zu einem atmospherischen Effekt--auftritt, die ebenfalls von der Wellenlänge abhängig sein kann. So ist zum Beispiel in Wasser die Absorptionsrate von grünem Licht am geringsten.

Zusammenfassung

Durch Superposition und je nach verwendetem Darstellungsalgorithmus können also die folgenden Lichtanteile, die je nach gewünschtem Modell berechnet werden, überlagert werden:

$I_a$	ambienter Lichtanteil
$I_d$	diffuser Lichtanteil
$I_s$	durch Reflexion erzeugter Lichtanteil
	(in Modell 20 wiederum aufgespalten)
$I_t$	durch Transparenz erzeugter Lichtanteil

In den Modellen wurden folgende Abschwächungsfaktoren eingeführt, die je nach Modell unterschiedliche Materialparameter notwendig machen:

$F_{att}$	Fresnel-Abschwächung
$D_{att}$	Verteilungsabschwächung
$G_{att}$	geometrische Abschwächung
$S_{att}$	Abschwächung durch Selbstbeschattung
$d_{att}$	Entfernungsabschwächung
$a_{att}$	Absorptionsabschwächung