Reale Materialien

Die Theorie, die ansatzweise oben besprochen worden ist, beschreibt nur ideale Oberflächen. Reale Oberflächen sind jedoch auch durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:

• Sie bestehen aus keinem einheitlichen Material, dessen optischen Eigenschaften bekannt (?) sind.
• Sie sind nicht optisch glatt, d.h. die optischen Eigenschaften werden auch durch Mikro-Geometrie bestimmt.
• Es sind keine exakten Modelle zur Beschreibung der Materialien und der Oberflächen bekannt.
• Man kennt nicht genügend Messdaten, um die obigen Formeln sinnvoll anwenden zu können.
• Die einfallende Strahlung wechselwirkt mit dem gesamten Material, d.h. sie dringt in das Material ein und unterliegt dort wiederum anderen physikalischen Gesetzen. (Diese Effekte sind insbesondere bei dünnen Farbfilmen auf Metallen zu beachten.)

Strahlungseigenschaften von Metallen

Metalle haben eine relativ geringe Emmisionsrate $\epsilon$ und damit auch eine geringe Absorptionsrate $\alpha$. Demzufolge ist die Reflexionsrate $\rho$ relativ hoch. Es gelten die folgenden Beziehungen:

• Mit steigendem Einfallswinkel $\delta$ steigt die Emmisionsrate $\epsilon$ und damit sinkt die Reflexionsrate $\rho$, d.h. je flacher man auf eine Metallplatte schaut, umso weniger spiegelt sie.
• Mit steigender Wellenlänge $\lambda$ sinkt die Emmisionsrate $\epsilon$ und damit steigt die Reflexionsrate $\rho$. Kupfer macht hierbei eine Ausnahme: $\epsilon$ ist relativ konstant bezüglich $\lambda$.
• Mit steigender Temperatur $T$ steigt die Emmisionsrate $\epsilon$ und damit sinkt die Reflexionsrate $\rho$.
• Für gewisse Wellenlängen- und Temperaturbereiche ist die Emmisionsrate proportional zum elektrischen Widerstand des Metalles.

Strahlungseigenschaften von Nicht-Metallen

Optische Materialeigenschaften von Nicht-Metallen sind noch weniger bekannt als die der Metalle. Nicht-Metalle verhalten sich oft umgekehrt wie Metalle, insbesondere sinkt die Emmisionsrate $\epsilon$ mit steigendem Einfallswinkel $\delta$, d.h. schaut man flach auf eine Nicht-Metallplatte, spiegelt sie mehr als bei direkter Draufsicht. Die Wellenlängenabhängigkeiten sind deutlich geringer als die der Metalle. Dies gilt ebenso für die Temperaturabhängigkeit. Mit anderen Worten, der Brechungsindex ist annähernd konstant bezüglich $\lambda$ und $T$.

Oberflächenrauheit

Eine Oberfläche kann--sofern sie keine Verwerfungen aufweist--als eine zweidimensionale Funktion $\zeta(x,y)$ aufgefasst werden. Für einen Punkt $(x,y)$ gibt $\zeta(x,y)$ die Abweichung der Oberfläche vom Mittelwert an. Es gilt somit: $\mbox{mean}(\zeta(x,y))=0$. Für die Standardabweichung $\sigma_0$ gilt:

$$\sigma_0 = \sqrt{\mbox{mean}(\zeta^2(x,y))} = \sqrt{\int\int\zeta^2(x,y)\;dxdy}$$

$m$	mittlere Steigung
$\tau$	mittlere Berg/Talabstand (correlation distance)
$\sigma_0$	mittlere Abweichung vom Mittelwert

Für die Beziehungen zwischen den drei Parametern wird von Beckmann (1963) aufgrund einer einfachen geometrischen Anschauung

$$m = \frac{2\sigma}{\tau}$$

und von Bennett (1961)

$$\bar{m} = \frac{\sqrt{2}\sigma}{\tau}$$

angegeben. Die zweite Formel ergibt sich unter der Annahme, dass $\zeta(x,y)$ Gauss-verteilt ist. Ein korrekter Wert ergibt sich nur aus der tatsächlichen Verteilung.

Nun kann man zwei Phenomene unterscheiden. Zum einen werden die Reflexionseigenschaften des Materials geändert, da die Oberfläche nicht mehr wie im theoretischen gefordert orientiert ist, was eine Reduktion der Reflexionsrate zur Folge hat. Dies wird durch zwei Reduktionsfaktoren $D_{att}$ und $G_{att}$ zum Ausdruck gebracht. Zum anderen wird möglicherweise reflektiertes oder einfallendes Licht durch die Oberfläche selbst abgeblockt--man könnte Selbstbeschattung sagen, was ebenfalls die Reflexionsrate reduziert. Dies kann durch einen Abschwächungsfaktor $S_{att}$ modelliert werden.

Bemerkung: In der Literatur wird $S_{att}$ oft mit $G_{att}$ bezeichnet, sowie $D_{att}*G_{att}$ als $D_{att}$ zusammengefasst.

Geometrische Selbstabschwächung

Wir wollen drei Abschwächungsfaktoren angeben.

• Torrance und Sparrow (1963) führten eine geometrische Selbstabschwächung nach einem einfachen Oberflächenmodell ein.
  

  Es ergibt sich:

  
  

  $$S_{TS} = \min\left(1,\frac{2\langle \vec{N},\vec{H}\rangle \l... ...{N},\vec{L}\rangle } {\langle \vec{V},\vec{H}\rangle }\right)$$
  
  

  Dieser Faktor hat die Nachteile, dass er nicht stetig und nicht symmetrisch ist,

• was bei dem Faktor nach Sancer (1969), der mithilfe von Normalverteilungen hergeleitet ist, nicht der Fall ist.

  
  

  $$S_S = \frac{1}{1+C_0+C_1}$$
  
  

  Dabei sind die Werte für $C_0$ und $C_1$ relativ kompliziert zu berechnen:

  $$\begin{eqnarray*} C_i&=&\frac{1}{2}\left(\frac{e^{-c_i}}{\sqrt{\pi c_i}}-1 +\P... ...x)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{\frac{x^2}{2}}\;dx \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

  d.h. $\Phi(x)$ berechnet das Gausssche Fehlerintegral. Dies ist in mathematischen Bibliotheken (C-Compiler) als erf() enthalten. Auch die Funktion $1-\Phi(x)$ ist als erfc() vorhanden. Für den Sancer-Faktor ist eine weitere Materialeigenschaft $\bar{m}$ notwendig, was bei Torrance und Sparrow nicht erforderlich ist.

• Torrance und Greenberg verwenden einen Faktor nach Smith und Bruce, der noch komplizierter zu berechnen ist:
  $$\begin{eqnarray*} S_{SB}&=&S_0 S_1 \\ S_i&=&\frac{1-\frac{1}{2}(1-\Phi(c_i))}... ...}-(1-\Phi(c_i)))+1}\\ c_i&=&\frac{\tau}{2\sigma_0\tan\delta_i} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  ($\delta_i$ und $\Phi$ wie oben.) Hier kann auch wiederum $m$ eingesetzt werden.

Verteilungsabschwächung

Die Oberfläche wird nicht mehr als einheitliche Fläche, sondern als Ansammlung von Micro-Facetten beschrieben, von denen nur diejenigen zu einer Reflexion beitragen, die entsprechend orientiert sind. Es kommt also auf die Verteilung und die geometrische Anordnung der Micro-Facetten innerhalb der Oberfläche an. Dies kann durch zwei Faktoren $D_{att}$ und $G_att$ modelliert werden. Als mögliche Verteilungen wurden die folgenden vorgeschlagen:

Phong

$$\begin{eqnarray*} D_{P} &=& \langle \vec{N},\vec{H}\rangle ^{Ns} \\ G_{P} &=& 1 \end{eqnarray*}$$

Diese Verteilung wird in den meisten einfachen Modellen (siehe Beschreibung der Modelle) verwendet. Sie ist für das Entstehen von Schlaglichtern verantwortlich.

Torrance and Sparrow (1967)

Auch diese Verteilung ist recht einfach, wurde jedoch selten benutzt.

$$\begin{eqnarray*} D_{TS} &=& e^{-(C_1\arccos\langle \vec{N},\vec{H}\rangle )^2} \\ G_{TS} &=& 1 \end{eqnarray*}$$

Trowbridge und Reitz (1967)

Eine weitere Verteilung ist

$$\begin{eqnarray*} D_{TR}&=&\left(\frac{C_2^2}{\langle \vec{N},\vec{H}\rangle ^2(C_2^2-1)+1}\right)^2 \\ G_{TR}&=& 1 \end{eqnarray*}$$

Beckmann und Bahar (1963,1987)

Die folgenden Verteilungen nutzen eine statistische Beschreibung der Oberflächeneigenschaften.

$$GD_{BB}=\left\{\begin{array}{l@{\mbox{~~falls~~}}l} \frac{1}... ...} e^{-\frac{\tan^2\alpha}{m^2}} & g \gg 1 \end{array}\right.$$

wobei

$$\begin{eqnarray*} g&=&\frac{4\pi^2\sigma^2}{\lambda^2}(\cos\delta_0+\cos\delta_1... ...+\sin^2\delta_1)\\ \cos\alpha&=&\langle \vec{N},\vec{H}\rangle \end{eqnarray*}$$

Der erste Term ergibt sich aus dem zweiten, wenn man nur das Anfangsglied der Summe berücksichtigt. Der letzte Term ergibt sich durch eine Grenzwertbetrachtung der Summe. Unter Berücksichtigung von $m=2\sigma/\tau$ kann der zweite Term wie folgt umgeschrieben werden:

$$\begin{eqnarray*} GD_{BB}&=& \frac{1}{4\pi m^2\cos^4\alpha}\sum_{i=1}^{\infty}... ...{-\left(g+\frac{v_{xy}^2\tau^2}{4i}\right)} \\ &=&G_{BB}D_{BB} \end{eqnarray*}$$

Greenberg und Torrance

erweitern diese Betrachtungsweise indem sie einerseits nicht nur $\sigma$ in dieser einfachen Form betrachten, sondern dieses ebenfalls von den Winkeln abhängig betrachten, also eine effektive Rauheit beschreiben, und andererseits den geometrischen Faktor weitergehend analysieren, so dass sogar Polarisationseigenschaften modelliert werden können. Wir werden hier allerdings nur die vereinfachte Form angeben, die für nicht polarisiertes Licht gilt.

Der Verteilungsabschwächungsfaktor ist analog dem der zweiten Gleichung von Beckmann und Bahar $D_{BB}$:

$$D_{GT}=\frac{\pi\tau^2} {4\lambda^2} \sum_{i=1}^{\infty}\frac{g^{i}}{i!\;i} e^{-\left(g+\frac{v_{xy}^2\tau^2}{4i}\right)}$$

allerdings wird bei der Berechnung von $g$

$$g=\frac{4\pi^2\sigma^2}{\lambda^2}(\cos\delta_0+\cos\delta_1)^2$$

nicht die einfache Beziehung für $\sigma$ eingesetzt, sondern auch hier wird eine effektive Rauheit eingesetzt:

$$\sigma=\frac{\sigma_0}{\sqrt{1+\frac{z_0^2}{\sigma_0^2}} }$$

wobei sich $z_0$ aus der Lösung der Gleichung

$$\sqrt{\frac{\pi}{2}}z_0 =\frac{\sigma_0}{4}(K_0+K_1)e^{-\frac{z^2_0}{2\sigma^2_0}}$$

ergibt. Die beiden Werte $K_0$ und $K_1$ berechnen sich für den einfallenden und den reflektierenden Vektor als:

$$K_i=\tan\delta_i(1-\Phi(\frac{\tau}{2\sigma_0\tan\delta_i}))$$

wobei die $\delta_i$--analog zu oben--die entsprechenden Winkel darstellen.

Der geometrische Abschwächungsfaktor wird wie folgt angegeben:

$$\begin{eqnarray*} G_{TG}&=& \left(\frac{\langle \vec{v},\vec{v}\rangle } {v_z... ...vec{p_l},\vec{V}\rangle ^2)} {\vert\vec{V}\times\vec{L}\vert^4} \end{eqnarray*}$$

hierbei sind die Vektoren $\vec{v}$, $\vec{s_v}$ und $\vec{p_v}$

$$\begin{eqnarray*} \vec{v} &=&\vec{L}+\vec{V} \\ \vec{s_v}&=&\vec{V}\times\vec{N} \\ \vec{p_v}&=&\vec{s_v}\times\vec{V} \end{eqnarray*}$$

Die beiden anderen Vektoren $\vec{s_l}$ und $\vec{p_l}$ werden analog mithilfe von $\vec{L}$ berechnet.