Rotation mit Eulerwinkeln

Generell kann jede Drehung mit einem Winkel $\phi$ um eine beliebige Achse auch durch Hintereinanderausführen von bis zu drei Drehungen um Koordinatenachsen ausgeführt werden, wobei zwei aufeinander folgende Drehungen nicht um die gleiche Achse durchgeführt werden dürfen (Eulers Theorem).

Da die Ausführung von Rotationen nicht kommutativ ist, ergeben sich 12 mögliche Kombinationen:

$$XYX\quad XYZ\quad XZX\quad XZY\quad YXY\quad YXZ$$

$$YZX\quad YZY\quad ZXY\quad ZXZ\quad ZYX\quad ZYZ$$

Verwendet man Eulerwinkel sollte man stets auf die zugrundeliegende Reihenfolge achten! Gebräuchliche Kombinationen sind: $XYZ$ und $YZX$.

Betrachten wir die $XYZ$-Kombination mit den Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

Die Rotationsmatrix (in kartesischen Koordinaten) berechnet sich dann:

$$\begin{eqnarray*} R &=& \left(\begin{array}{ccc}\cos\gamma & -\sin\gamma & 0\\ ... ...ta & \sin\alpha\cos\beta & \cos\alpha\cos\beta\end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

Stellt sich für $\beta$ ein Winkel von $\pi/2$ (oder $-\pi/2$) ein, d.h. $\cos\beta=0$ und $\sin\beta=1$ so ergibt sich:

$$\begin{eqnarray*} R &=& \left(\begin{array}{ccc}0 & -\cos\alpha\sin\gamma+\sin\... ...-\gamma) & \sin(\alpha-\gamma)\\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)\\ \end{eqnarray*}$$

und wir erkennen, dass ein Freiheitsgrad eingebüßt wurde, jede Änderung von $\alpha$ oder $\gamma$ ergibt eine Drehung um die selbe Drehachse.

Dieses Phenomen wird als Gimbal-Lock bezeichnet und bereitet insbesondere bei dreiachsigen mechanischen Navigierungsgeräten als auch bei Benutzerschnittstellen Probleme.