Klassifizierung der Projektionen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Projektion der 3-dimensionalen Objekte auf/in eine 2-dimensionale Projektionsfläche vorzunehmen. Beispiele sind:

• geradlinige Projektion auf eine Ebene
• geradlinige Projektion auf einen Zylindermantel
• krummlinige Projektionen (z.B. um Linseneffekte zu erzeugen)

Wir betrachten hier nur die Projektion auf eine Ebene.

Parallelprojektion

Hier werden zueinander parallele Geraden verwendet, um Punkte aus dem Objektraum auf die Bildebene zu projizieren.

Hierbei bleiben parallele Linien im Objektraum als parallele Linien in der Projektion erhalten.

Man unterscheidet:

rechtwinklige Projektion:

Die Projektionsmatrix der rechtwinkligen Projektion ergibt sich recht einfach als:

$$M_{{\mathrm{par}}\bot} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0... ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

d.h. man kann einfach zur Berechnung der Projektion eines Punktes dessen $z$-Koordinate weglassen.

Man unterscheidet weiter (insbesondere für CAD Zwecke):

• Hauptrisse
  Man wählt den Normalenvektor der Kamera parallel zu einer Koordinatenachse des Weltkoordinatensystems und erhält so Seitenansichten.
• axonometrische Risse
  Man wählt den Normalenvektor der Kamera so, dass die Projektionsebene mehrere Koordinatenachsen des Weltkoordinatensystems schneidet:

  dimetrische Projektion:

  zwei Achsen werden geschnitten

  trimetrische Projektion:

  alle Achsen werden geschnitten

  isometrische Projektion:

  alle Achsen werden geschnitten, und zwar so, dass die entstehenden Achsenabschnitte gleiche Länge haben; damit bleiben in der Projektion die originalen Längenverhältnisse erhalten.

schiefwinklige Projektion:

Damit können wir folgende Berechnungen durchführen:

Der projizierte Punkt $P^{\prime}=(x^{\prime},y^{\prime},0)$ berechnet sich mit den angegebenen Winkeln und Längen wie folgt:

$$\begin{eqnarray*} x^{\prime} &=& x+l\cos\phi \\ y^{\prime} &=& y+l\sin\phi \end{eqnarray*}$$

wobei

$$\tan\alpha=z/l\quad\Longrightarrow\quad l=z/\tan\alpha= z\cdot l_1$$

und die Projektionsmatrix ergibt sich zu:

$$M_{{\mathrm{par}}\alpha\phi} = \left(\begin{array}{cccc}1 & ... ...sin\phi & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

was mit $l_1=0$ gerade die rechtwinklige Projektionsmatrix darstellt.

Man unterscheidet entsprechend der Winkel im CAD Bereich:

Kavalier-Darstellung:

Die senkrecht zur Projektionsebene verlaufenden Objektkanten werden unverkürzt dargestellt, d.h.

$$\tan\alpha=1\quad\Longrightarrow\quad \alpha=45^\circ$$

und übliche Wahlen von $\phi$ sind:

$$\phi=30^\circ\quad\mbox{oder}\quad \phi=45^\circ$$

Kabinett-Darstellung:

Die senkrecht zur Projektionsebene verlaufenden Objektkanten werden um den Faktor 2 verkürzt dargestellt, d.h.

$$\tan\alpha=2\quad\Longrightarrow\quad \alpha=63.43^\circ$$

und übliche Wahlen von $\phi$ sind ebenfalls:

$$\phi=30^\circ\quad\mbox{oder}\quad \phi=45^\circ$$

Will man ein interaktives System implementieren, in dem der Benutzer $\phi$ und $\alpha$ bzw. $l_1$ angibt, so sollte man darauf achten, dass u.U. $\tan\alpha$ nicht berechnet werden kann.

Zentralprojektion

Hier werden Geraden verwendet, die in einem Fokuspunkt zusammenlaufen, um einen Punkt aus dem Objektraum auf die Bildebene zu projizieren.