Propriedad de aproximación de las ondículas de Haar

idea de la comprobación que podemos aproximar cualquier función de ${\rm L}^2(\bbbr)$

ya vimos que podemos aproximar una funcion $f$ con la aproximación $E^jf$ que es una suma de funciones de cajas de anchura $2^{-j}$

en los intervalos donde la aproximación es constante la función de escalones tiene el valor

$$f_i^j= 2^j\int_{i2^{-j}}^{(i+1)2^{-j}}f(x)dx$$

(la media de la integral sobre el intervalo)

podemos realizar una aproximación arbitrariamente fina, si incrementamos $j$

miramos dos de estas aproximaciones con índice $j$ y $j+1$

porque los valores de las funciones de escalones $E^jf$ y $E^{j+1}$ son las medias de las integrales sobre los intervalos adecuados y dichos intervalos se cortan por la mitad yiendo de $j$ a $j+1$ tenemos

$$f_i^j=\frac{f_{2i}^{j+1}+f_{2i+1}^{j+1}}{2}$$

o en otras palabras, porque podemos construir la función $E^{j+1}$ sobre cada intervalo $i$ de la función $E^jf$ sumando la ondícula de Haar $\psi_i^j$ multiplicado con un valor $d_i^j$ adecuado, tenemos la combinación lineal para la diferencia de ambas aproximaciones

$$E^{j+1}f-E^jf=\sum_i d_i^j\psi_i^j$$

la amplitud de $\psi_i^j$ es $\sqrt{2^j}$, por eso se calculan los $d_i^j$ con

$$d_i^j=\sqrt{2^{-j}}\frac{f_{2i}^{j+1}-f_{2i+1}^{j+1}}{2}$$

iteramos la penúltima ecuación

$$\begin{eqnarray*} E^{j+1}f &=& E^jf+\sum_i d_i^j\psi_i^j \\ &=& E^{j-1}f+\s... ...-n}f+\sum_{j^\prime=j-n}^j\sum_i d_i^{j^\prime}\psi_i^{j^\prime} \end{eqnarray*}$$

es decir, si empezamos con un $j-n=j_1\in\bbbz$ podemos refinar la aproximación hasta cierto $j+1=j_0$, entonces, reescribimos la fórmula (usando de nuevo $j$ por $j^\prime$)

$$E^{j_0}f= E^{j_1}f+\sum_{j=j_1}^{j_0-1}\sum_i d_i^{j}\psi_i^{j}$$

porque $f\longrightarrow 0$ si $x\longrightarrow \pm\infty$ (recordamos que $f\in\mbox{${\rm L}^2(\bbbr)$}$) podemos conseguir que $E^{j_1}f$ sea tan pequeño como queremos (empezando con un $j_1$ suficientemente pequeño), en otras palabras, tenemos la siguiente aproximación de la función $f$

$$f \approx E^{j_0}f \approx \sum_{j=j_1}^{j_0-1}\sum_i d_i^{j}\psi_i^{j}$$

es decir, si elegimos $j_0$ lo suficientemente grande (las funciones de cajas sobre intervalos lo suficientemente pequeños), podemos aproximar la función $f$ con una suma de las ondículas de Haar