Transformada de Haar rápida

el cálculo de los coeficientes $d_i^j$ se basa en los valores $f_i^j$ que se obtienen calculando integrales sobre intervalos

ya vimos en la introducción un algoritmo rápido para calcular la imagen transformada

repetimos el proceso para obtener el algoritmo recursivo

tuvimos las fórmulas

$$\begin{eqnarray*} f_i^j&=&\frac{f_{2i}^{j+1}+f_{2i+1}^{j+1}}{2} \\ d_i^j&=&\sqrt{2^{-j}}\frac{f_{2i}^{j+1}-f_{2i+1}^{j+1}}{2} \end{eqnarray*}$$

asumimos que tengamos los valores $f_i^{j_0}$ para un índice $j_0$ suficientemente grande, o en otras palabras, asumimos que tengamos una aproximación suficientemente bien de la función $f$ con una función de escalones

$$f \approx E^{j_0}f$$

incluso podemos aproximar dichos valores $f_i^{j_0}$ con el valor de la función $f$ en el centro del intervalo

$$f_i^{j_0} \approx f((i+0.5)\cdot 2^{j_0})$$

entonces podemos calcular todos los $f_i^j$ (con $j<j_0$) y también los $d_i^j$ recursivamente

desarrollamos las fórmulas

recordamos que pudimos aproximar una función con su proyección ortogonal usando un sistema de funciones en ${\rm L}^2(\bbbr)$

$$Pf = \sum_{k\in J}\langle\varphi_k,f\rangle \varphi_k$$

y en el caso especial de usar las funciones de cajas de anchura $2^{-j}$ y area $1$ tuvimos

$$f \approx E^jf = Pf$$

pero estas funciones de cajas no son nada más que las funciones de escalado de Haar

$$\begin{eqnarray*} \phi_i^j(x)&=&\sqrt{2^j}\phi(2^jx-i) \\ \phi(x) &=& \left\{... ...ad$}c} 1 & 0\leq x < 1 \\ 0 & \mbox{sino} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

poniendo $\varphi_i=\phi_i^j$ adecuadamente, entonces

$$\begin{eqnarray*} E^jf &=& Pf \\ &=& \sum_{k\in J}\langle\varphi_k,f\rangle ... ...hi_i^j,f\rangle \phi_i^j \\ &=& \sum_{i\in\bbbz}c_i^j\phi_i^j \end{eqnarray*}$$

es decir, tenemos para los coeficientes $c_i^j$

$$\begin{eqnarray*} c_i^j &=& \langle\phi_i^j,f\rangle \\ &=& \int_\bbbr\phi_i... ...f(x)dx}_{\displaystyle 2^{-j}f_i^j} \\ &=& \sqrt{2^{-j}}f_i^j \end{eqnarray*}$$

introducimos eso en las ecuaciones del comienzo

$$\begin{eqnarray*} f_i^j &=& \frac{f_{2i}^{j+1}+f_{2i+1}^{j+1}}{2} \\ \sqrt{... ...ac{\sqrt{2^{j+1}}c_{2i}^{j+1}+\sqrt{2^{j+1}}c_{2i}^{j+1}}{2} \\ \end{eqnarray*}$$

y

$$\begin{eqnarray*} d_i^j &=& \sqrt{2^{-j}}\frac{f_{2i}^{j+1}-f_{2i+1}^{j+1}}{2... ...frac{\sqrt{2^{j+1}}c_{2i}^{j+1}-\sqrt{2^{j+1}}c_{2i+1}^{j+1}}{2} \end{eqnarray*}$$

que se reduce a las ecuaciones simétricas y recursivas

$$\begin{eqnarray*} c_i^{j-1}&=& \frac{c_{2i}^j+c_{2i+1}^j}{\sqrt{2}}\\ d_i^{j-1}&=& \frac{c_{2i}^j-c_{2i+1}^j}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$

siendo la base para el cálculo de la transformación de Haar, o bien, la transformación de ondículas basada en las ondículas de Haar,

si sumamos o sustraemos $c_i^{j-1}$ y $d_i^{j-1}$ obtenemos las ecuaciones para el cálculo de la inversa

$$\begin{eqnarray*} c_i^{j-1}-d_i^{j-1} &=& \frac{c_{2i}^j+c_{2i+1}^j}{\sqrt{2}... ...2i}^j-c_{2i+1}^j}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{2c_{2i}^j}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$

es decir

$$\begin{eqnarray*} c_{2i}^j&=& \frac{c_i^{j-1}+d_i^{j-1}}{\sqrt{2}}\\ c_{2i+1}^j&=& \frac{c_i^{j-1}-d_i^{j-1}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$

y obtenemos los valores aproximados de la función $f$ como

$$f_i^j=\sqrt{2^j}c_i^j$$