Imagen como elemento de espacio de funciones

miramos la señal como funciones constantes sobre intervalos

asumimos como dominio el intervalo $[0,1)$

una imagen de un pixel es una función constante sobre el intervalo $[0,1)$

para funciones tenemos la adición y la multiplicación con un escalar, es decir, podemos tratar las funciones sobre el intervalo $[0,1)$ como espacio vectorial de funciones

(re-estudiamos prevemente los conceptos de espacios vectoriales: vectores, multiplicación escalar, suma, producto escalar, norma, valor absoluto)

llamamos como $V^0$ el espacio de todas las funciones constantes sobre $[0,1)$

igualmente como $V^1$ el espacio de todas las funciones constantes sobre los intervalos $[0,1/2)$ y $[1/2,1)$

y sucesivamente $V^j$ espacio de las funciones constantes sobre los intervalos equidistantes de anchura $1/2^j$

(sabemos del contexto si $j$ es un superíndice o un exponente)

con eso: cada imagen (unidimensional) con $j$ pixeles es un elemento del espacio $V^j$

obviamente $V^j\subset V^{j+1}$

porque

en general

$$V^0 \subset V^1 \subset V^2 \subset \cdots$$

espacios vectoriales tienen bases

conjunto mínimo de vectores del espacio de tal forma que cada vector del espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base

combinación lineal de $w$

$$w = c_0u_0+c_1u_1+\dots$$

conjunto mínimo significa que los vectores son linealmente independientes

$$c_0u_0+c_1u_1+\dots = 0 \Longleftrightarrow\quad c_0=c_1=\dots=0$$

un espacio vectorial puede tener una dimensión (número de vectores en una base) finita o infinita

llamamos las funciones bases del espacio $V^j$ funciones de escalado (anotándolas con $\phi$)

observamos que con

$$\phi(x) = \left\{\begin{array}{l@{$\quad;\quad$}c} 1 & 0\leq x < 1 \\ 0 & \mbox{sino} \end{array}\right.$$

las funciones (funciones de cajas trasladadas)

$$\phi_i^j(x)=\phi(2^jx-i) \qquad i=0,\dots,2^j-1$$

componen una base del espacio $V^j$, p.ej.

Nota que una función de caja se llama también función característica $\chi_{[a,b)}$ donde el intervalo como subíndice indica donde la función es 1, fuera del intervalo es 0.

llamamos soporte el intervalo de la función donde la función sea diferente a 0, p.ej. el soporte de $\phi_0^2$ es $[0,1/4)$

si el soporte es limitado, decimos que la función tiene soporte compacto (Si queremos ser precisos matemáticamente, la definición de soporte compacto no es tan simple.)

necesitamos un producto escalar en el espacio de las funciones, usamos el producto escalar estándar:

$$\langle f,g\rangle =\int_0^1f(x)g(x)dx$$

dos vectores son ortogonal siempre cuando $\langle u,v\rangle =0$

definimos un nuevo espacio vectorial $W^j$ que sea el complemento ortogonal de $V^j$ en $V^{j+1}$, es decir, $W^j$ es el espacio de todas las funciones en $V^{j+1}$ que son ortogonales a todas las funciones en $V^j$ (claro, con el producto escalar eligido), es decir

$$\psi^j\in W^j, \phi^j\in V^j: \quad \langle\psi^j,\phi^j\rangle =0$$

las funciones $\psi_i^j(x)$ formando una base de $W^j$ se llama (pre-)ondículas

(ondículas si también son ortogonales entre si)

obviamente, $\psi_i^j\in W^j$ más $\phi_i^j\in V^j$ forman una base para $V^{j+1}$

informal significa:

las funciones $\psi_i^j$ en $W^j$ nos permiten representar las partes de las funciones en $V^{j+1}$ que no se puede representar en $V^j$

las ondículas correspondientes al ejemplo de las funciones de escalado de Haar (en el contexto de nuestro espacio de funciones elegido) son

$$\begin{eqnarray*} \psi_i^j(x) &=& \psi(2^j-i)\qquad i=0,\dots,2^j-1 \\ \psi(x) ... ...\ -1 & 1/2 \leq x < 1 \\ 0 & \mbox{sino} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

retrocemos al ejemplo

$$[\quad 9 \quad 7 \quad 3 \quad 5 \quad ]$$

representado con funciones de escalado en $V^2$

$$I(x) = c_0^2\phi_O^2(x)+c_1^2\phi_1^2(x)+c_2^2\phi_2^2(x)+c_3^2\phi_3^2(x)$$

representado con funciones de escalado en $V^1$ más ondículas en $W^1$

$$I(x) = c_0^1\phi_O^1(x)+c_1^1\phi_1^1(x)+d_0^1\psi_0^1(x)+d_1^1\psi_1^1(x)$$

y ahora reescribimos también $V^1$ con $V^0$ más $W^0$

$$I(x) = c_0^0\phi_O^0(x)+d_0^0\psi_0^0(x)+d_0^1\psi_0^1(x)+d_1^1\psi_1^1(x)$$

es decir, los coeficientes para representar la imagen están tomados de la combinación lineal de funciones de la secuencia de espacios

$$V^0, W^0, W^1, \cdots$$