Fläche von Polygonen

Die Formel zur areatriangleFlächenberechnung des Dreiecks kann auf Polygone erweitert werden (die Argumentation mit der vorzeichenrichtigen Addition der Trapeze bleibt exakt gleich) und man erhält:

$$a=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$$

wobei wir den Index $i$ in der Summe modulo $n$ bilden, d.h. $x_{n-1}=x_0$ und $y_{n-1}=y_0$, wobei $n$ die Anzahl der Polygonecken ist.

Ist das Polygon einfach, so ergibt sich die vorzeichenbehaftete Fläche entsprechend der Orientierung der Kanten gegen oder im Uhrzeigersinn. Ist das Polygon jedoch nicht einfach, so zeigt man leicht, dass gilt:

$$\begin{eqnarray*} a&=&\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\\ &=& \frac{1}{2}\sum_{j=0}^k w_j A_j \end{eqnarray*}$$

wobei hier $k$ die Anzahl der Gebiete des Polygons ist, $w_j$ die Windungszahl des Gebietes $j$ und $A_j$ seine Fläche.