Innen und Außen

Sei $p$ ein Punkt der Ebene. Zwei mögliche Varianten:

1. $p$ liegt innerhalb des Polygons, wenn ein Strahl beginnend bei $p$ eine ungerade Anzahl von Kanten schneidet; sonst außerhalb.
   

2. $p$ liegt innerhalb des Polygons, wenn die Windungszahl von $p$ ungleich 0 ist; sonst außerhalb.
   

Die Windungszahl ist die Summe der Orientierungen von $p$ bezüglich aller Kanten, die von einem Strahl beginnend bei $p$ getroffen werden.

Vorsicht: Schneidet der Strahl eine Ecke, so wird natürlich wie folgt verfahren:

1. liegen beide adjazenten Ecken auf einer Seite des Strahls, wird kein Schnittpunkt (kein Summand für die Windungszahl) gezählt;
2. liegt je eine adjazente Ecke auf einer Seite des Strahls, wird nur ein Schnittpunkt (ein Summand für die Windungszahl) gezählt;
3. liegt eine Kante (Folge von Kanten) auf dem Strahl, wird wie in 1 oder 2 mit der ersten folgenden, nicht auf dem Strahl liegenden Kante verfahren.

Im praktischen Fall verwendet man eine Koordinatenrichtung als Strahl.

Wie behandelt man Mehrfachecken? Übung!

Insbesondere liegen Punkte auf dem Rand weder innen noch außen. Unterscheiden sich beide Definitionen?

Beispiel:

Damit können wir Folgendes unterscheiden:

überlappend--nicht überlappend:

Ein Polygon ist nicht überlappend, wenn für jeden Punkt im Innern, dessen Windungszahl entweder gleich 1 oder -1 ist; sonst überlappend.

Einschlüsse--keine Einschlüsse:

Ein Polygon hat keine Einschlüsse, wenn das Gebiet der Punkte mit Windungszahl 0 zusammenhängend ist.

oientierbar--nicht orientierbar:

Ein Polygon ist orientierbar, wenn alle Windungszahlen entweder nur positiv oder nur negativ sind.