El área del polígono

Existen varias formas de calcular el área de un polígono. Pero la mayoría de la literatura (incluyendo Leda) se limita a calcular el área de un polígono simple.

Una de las formulas (para un polígono simple) es la siguiente:

A = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\sum_{i=0}^{n-1}$$(x_iy_{i + 1} - x_{i + 1}y_i)

donde n es el número de esquinas, x_i e y_i son las coordenadas de la esquina i. Está claro: en la suma se calculan los índices módulo n, es decir, x_n es igual a x₀ e y_n es igual a y₀.

Se observa que con la fórmula se calcula un valor negativo si la orientación del polígono es negativa (es decir, sentido horario). O con otras palabras: calculando el área de un polígono simple con esa fórmula, se puede derivar de su signo, si la orientación del polígono es positiva o negativa (que nos resuelva el problema todavía abierto del apartado sobre la orientación).

Qué pasa si aplicamos la fórmula a polígonos no-simples?

Pues, no se calcula el área tal cual se entiende normalmente sino el área ponderada.

Recordamos el juego con la cuerda. Hemos observado cuantas veces el polígono da la vuelta alrededor de algún punto en una región del polígono. Si contamos las vueltas en sentido antihorario positivo y las vueltas en sentido horario negativo, podemos asignar a cada región un número entero que llamamos número de vueltas (se llama ``winding number'' en inglés).

Asumimos que tenemos un polígono que tenga k regiones (en el caso de un polígono simple k es igual a 1). Cada región tiene su área, p.e., A_j en la región j.

Entonces definimos el área ponderada del polígono como:

A = $$\sum_{j=0}^{k}$$w_jA_j

donde los w_j son justamente el número de vueltas.

Lo divertido viene ahora:

La fórmula dada arriba para calcular el área de un polígono simple, calcula para un polígono no-simple el área ponderada!

Quién puede comprobarlo?

Queríamos calcular las áreas de los polígonos en los planos del sistema de coordenadas con el fin de obtener un vector normal, y ahí no hablamos de polígonos simples.

Más concreto: la fórmula para el vector normal sigue siendo correcta si usamos el área ponderada en lugar de el área normal y corriente.