El vector normal del plano

Si sabemos que todos los puntos están en un plano, un vector normal al plano se podría calcular sencillamente con:

1. Se escoge tres esquinas no-colineales del polígono, las llamamos, p.e., p, q y r, respetando su orden en la lista.
2. Se calcula un vector normal N al plano como el producto vectorial de los dos vectores de diferencias, es decir, N=(r-q)x(p-q)

En qué dirección apunta dicho vector?

Usamos una regla de la mano derecha para interpretar el producto vectorial:

Si el pulgar apunta en dirección del primer vector y el dedo índice apunta en dirección del segundo vector, entonces, el dedo medio apunta en direccion del vector del producto.

Por otro lado, si se puede seguir a tres vectores de esta manera con los dedos de la mano derecha, los vectores forman un sistema de coordenadas derecho.

Matemáticamente, eso se expresa de la siguiente forma:

Tres vectores (tridimensionales) a, b y c forman un sistema de coordenadas derecho si el producto mixto a(b x c) (es decir, el producto escalar entre a y el producto vectorial entre b y c) es mayor que cero (es decir, estrictamente positivo).

Sin embargo, calcular el vector normal de un polígono a base del producto vectorial no es recomendable por dos razones:

• calcular el producto vectorial no es muy estable si los vectores están casi colineales y
• hay que saber de antemano que todos los puntos están en un plano, que todavía no sabemos

Miramos otra forma un poquito más compleja:

Dado un polígono tridimensional (por el momento asumimos que esté colocado en un solo plano), se puede calcular un vector normal N con la siguiente fórmula:

N = $$\left(\vphantom{\begin{array}{c}A_{yz}\\ -A_{xz}\\ A_{xy}\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}A_{yz}\\ -A_{xz}\\ A_{xy}\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}A_{yz}\\ -A_{xz}\\ A_{xy}\end{array}}\right)$$

donde A_xy (respectivamente A_xz y A_yz) es el área de la proyección del polígono al plano xy (respectivamente xz e yz) del sistema de coordenadas.

Bueno, hemos pasado la pelota: en vez de calcular el vector normal tenemos que calcular áreas...