Transformada de Fourier

la transformada de Fourier es una herramienta imprescindible cuando se trabaja con señales periódicas, es decir, con $\omega\in\bbbr^+$, $\omega=2\pi/T$ y $f$ siendo una función $T$-periódica sobre $\bbbr$ podemos representar la función $f$ con la suma

$$f(t)=a_0/2+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(k\omega t)+b_k\sin(k\omega t)$$

donde los coeficientes se calcula como

$$\begin{eqnarray*} a_k &=& 2/T\int_0^T f(t)\cos(k\omega t) dt \qquad k=0,1,2,\do... ...2,\dots \\ &=& 2/T\langle f(\cdot),\sin(k\omega\cdot)\rangle \end{eqnarray*}$$

la suma con el argumento $t\in\bbbr$ se puede expresar también con el argumento en $\bbbc$ (notando el eje imaginario con $j$) que nos lleva a

$$f(t)=\sum_{k\in\bbbz}c_ke^{jk\omega t}$$

nota que la sumación se realiza ahora con índices sobre todo $\bbbz$

la equivalencia de ambos formas en el caso de funciones $f$ reales vemos aprovechando de la ecuación de Euler

$$e^{kj\omega t}=\cos(k\omega t)+j\sin(k\omega t)$$

donde expresamos el ángulo como $\omega t$ (es decir, varia entre 0 y $2\pi$ para $t$ entre 0 y $T$) y la definición apropriada de los coeficientes:

$$\begin{eqnarray*} c_k&=&\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{l@{\quad\mbox{si}\quad}l... ... a_k-jb_k & k>0 \\ a_{-k}+jb_{-k} & k< 0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

mostrámoslo

$$\begin{eqnarray*} f(t) &=& \sum_{k\in\bbbz}c_ke^{jk\omega t} \\ &=& \sum_{k\... ...{2}+ \sum_{k>0}a_k\cos(k\omega t)+\sum_{k>0}b_k\sin(k\omega t)) \end{eqnarray*}$$

las funciones exponenciales complejas forman un sistema ortogonal sobre ${\rm L}^2(T)$ (ya lo mostramos gráficamente en el caso de las funciones harmónicas $\cos$ y $\sin$) como se comprueba fácilmente:

$$\begin{eqnarray*} \langle e^{jk\omega t},e^{jl\omega t}\rangle _T &=& \int_0^Te... ...{e^{j(k-l)2\pi}-1}{j(k-l)\omega}=0 & k\not=l \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

para los coeficientes $c_k$ tenemos entonces

$$c_k=\frac{\langle e^{jk\omega t},f(t)\rangle _T}{T} =\frac{1... ...omega t}dt =\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jk\omega t}dt$$

que reproducen las fórmulas para los $a_k$ y $b_k$ dados arriba

las funciones exponenciales complejas forman también una base del ${\rm L}^2(T)$ que no comprobamos aquí

muchas señales que se encuentran en la práctica no son periódicas (p.ej. señal de voz o música), es decir, el periódo $T$ tiende hacia $\infty$

si realizamos el paso $T\longrightarrow \infty$ obtenemos la transformada de Fourier donde la frecuencia es una variable continua, detallamos:

resustituimos $\omega=2\pi/T$

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=& \sum_{k\in\bbbz}c_ke^{jk\omega t} \\ &=& \sum_{k\i... ...frac{1}{T} \\ Tc_k &=& \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j2\pi t k/T}dt \end{eqnarray*}$$

si replazamos $k/T$ por $\zeta_k$ y si aprovechamos de $\Delta\zeta_k=\zeta_{k+1}-\zeta_k=1/T$ obtenemos

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=& \sum_{k\in\bbbz}Tc_ke^{j2\pi \zeta_k}\Delta\zeta_k \\ Tc_k &=& =\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j2\pi \zeta_kt}dt \end{eqnarray*}$$

es decir, $Tc_k$ depende de $f$, $T$ y $\zeta_k$ y lo podemos expresar con un operador sobre $f$ que depende de $T$ y trabaja con $\zeta_k$

$$Tc_k=F_Tf(\zeta_k)$$

entonces tenemos

$$f(t)= \sum_{k\in\bbbz}F_Tf(\zeta_k)e^{j2\pi \zeta_k}\Delta\zeta_k$$

con el paso $T\longrightarrow \infty$ las variables $\zeta_k$ se conviertan en una variable $\zeta$ continua y obtenemos para los coeficientes y la serie (escribiendo $Ff$ para $F_\infty f$)

$$\begin{eqnarray*} Ff(\zeta) &=& \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi \zeta t}dt \\ f(t)&=&\int_{-\infty}^{\infty}Ff(\zeta) e^{j2\pi \zeta t}dt \end{eqnarray*}$$

la función $Ff(\zeta)$ se llama transformada de Fourier de $f$

en algunos textos se usa en vez de $\zeta$ la frecuencia angular $\omega$ para expresar la transformada de Fourier, con $\omega=2\pi\zeta$ se conviertan las expresiones en

$$\begin{eqnarray*} Ff(\omega) &=& \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \\... ...&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}Ff(\omega) e^{j\omega t}dt \end{eqnarray*}$$

calculamos, por ejemplo, la transformada de Fourier de la función de escalado de Haar

$$\phi(t) = \left\{\begin{array}{l@{$\quad;\quad$}c} 1 & 0\leq t < 1 \\ 0 & \mbox{sino} \end{array}\right.$$

es decir

$$\begin{eqnarray*} F\phi(\zeta) &=& \int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)e^{-j2\pi \z... ...pi\zeta} \\ &=& e^{-j\pi\zeta}\frac{\sin(\pi\zeta)}{\pi\zeta} \end{eqnarray*}$$

(el último paso se realiza con la ecuación de Euler) asumimos que las funciones $f$ y $g$ abajo tengan transformadas de Fourier y que pertenezcan a ${\rm L}^2(\bbbr)$, entonces la transformada de Fourier tiene las siguientes propriedades (usando de nuevo $\cdot$ para indicar que la ecuación es valida para todos los posibles argumentos):

funciónes reales:

siendo $f$ una función produciendo solamente valores reales

$$Ff(\cdot)=Ff(-\cdot)$$

linealidad:

sean $f$ y $g$ dos funciones y $\alpha,\beta\in\bbbr$

$$F\{\alpha f+\beta g\}(\cdot)=\alpha Ff(\cdot)+\beta Fg(\cdot)$$

traslación:

sea $f$ una función y sea $g(t)=f(t-t_0)$ siendo $t_0\in\bbbr$

$$Fg(\cdot)=e^{-j2\pi t_0\cdot}Ff(\cdot)$$

dilatación:

sea $f$ una función y sea $g(t)=f(\alpha t)$ siendo $\alpha\in\bbbr\setminus\{0\}$

$$Fg(\cdot)=\frac{1}{\vert\alpha\vert}Ff(\frac{\cdot}{\alpha})$$

convolución:

sean $f$ y $g$ dos funciones y con la definición de la convolución

$$(f*g)(t)=\int_\bbbr f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$

se obtiene

$$F\{f*g\}(\cdot)=Ff(\cdot)Fg(\cdot)$$

es decir, la convolución en el espacio del tiempo se convierta en una multiplicación en el espacio de las frecuencias, igual al revés

$$F\{fg\}(\cdot)=Ff(\cdot)*Fg(\cdot)$$

relaciones de Parseval y Plancherel:

sean $f$ y $g$ dos funciones

$$\begin{eqnarray*} \langle f,g\rangle &=&\langle Ff,Fg\rangle \\ \Vert f\Vert^2&=&\Vert Ff\Vert^2 \end{eqnarray*}$$

es un buen ejercicio comprobar las propriedades