Transformada de Haar como filtro

las ecuaciones que usamos para calcular la transformada de Haar fueron:

$$\begin{eqnarray*} c_i^{j-1}&=& \frac{c_{2i}^j+c_{2i+1}^j}{\sqrt{2}}\\ d_i^{j-1}&=& \frac{c_{2i}^j-c_{2i+1}^j}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$

si colocamos los coeficientes para un índice $j$ en una secuencia de valores, es decir,

$$\begin{eqnarray*} {\mathbf c}_j &=& (c_i^j)_{i\in\bbbz} \\ {\mathbf d}_j &=& (d_i^j)_{i\in\bbbz} \\ \end{eqnarray*}$$

podemos describir el análisis (el paso de $j$ a $j-1$) como un filtrado digital:

$$\begin{eqnarray*} {\mathbf c}_{j-1} &=& (\downarrow2)A({\mathbf c}_j) \\ {\mathbf d}_{j-1} &=& (\downarrow2)D({\mathbf d}_j) \end{eqnarray*}$$

donde $A$ calcula la media y $D$ los detalles, más preciso

$$\begin{eqnarray*} A({\mathbf u})_n &=& \frac{u_n+u_{n+1}}{\sqrt{2}} \\ D({\mathbf u})_n &=& \frac{u_n-u_{n+1}}{\sqrt{2}} \\ \end{eqnarray*}$$

igualmente se puede escribir la reconstrucción (el paso de $j-1$ a $j$) como un filtrado digital con sumación:

$$\begin{eqnarray*} {\mathbf c}_j &=& \tilde A(\uparrow2)({\mathbf c}_{j-1})+\tilde D(\uparrow2)({\mathbf c}_{j-1}) \\ \end{eqnarray*}$$

donde $\tilde A$ y $\tilde D$ calculan

$$\begin{eqnarray*} \tilde A({\mathbf u})_n &=& \frac{u_n+u_{n-1}}{\sqrt{2}} \\ \tilde D({\mathbf u})_n &=& \frac{u_n-u_{n-1}}{\sqrt{2}} \\ \end{eqnarray*}$$

veremos que ...

$$\begin{eqnarray*} c_{2i}^j&=& \frac{c_i^{j-1}+d_i^{j-1}}{\sqrt{2}}\\ c_{2i+1}^j&=& \frac{c_i^{j-1}-d_i^{j-1}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$$