Construcción de ondículas a base de un análisis multiresolución

dado un análisis multiresolución ortonormal, queremos construir una base del espacio ${\rm L}^2(\bbbr)$

los propios $\varphi_i^j$ no generan una base ortonormal por dos razones:

• las funciones de una escala se puede representar con una combinación lineal de funciones de la escala anterior
• las funciones de dos escalas no son necesariamente ortonormal (sólo lo son dentro de la misma escala)

sabemos

• $\varphi_i^j\in V^j$ son ortonormales
• $V^j\subset V^{j+1}$

entonces, intentamos ampliar el conjunto de $\varphi_i^j$ para obtener una base del $V^{j+1}$

empezamos con el $V^0$, es decir, tenemos como base los $\varphi_i^0$ ($i\in\bbbz$)

dentro de $V^1$ tenemos los

$$\varphi_i^1 = \sum_{k\in\bbbz} c_{k-2i}\varphi_k^1$$

queremos que las $\psi$, siendo las funciones nuevas, también se generan con traslación y dilatación simple

hacemos el ansatz

$$\psi_i^0 = \sum_{k\in\bbbz} d_{k-2i}\varphi_k^1$$

y queremos que los coeficientes $d_k$ sean de tal manera que el sistema de los $\varphi_i^1$ más los $\psi_i^0$ formen una base ortonormal del $V^1$

Cómo lo haríamos en el $\bbbr^2$?

$$\begin{eqnarray*} v \bot v^\prime \qquad& &\qquad \left(\begin{array}{c}x\ y\... ...{c}-y\ x\end{array}\right) \\ \langle v,v^\prime\rangle &=& 0 \end{eqnarray*}$$

o generalmente en un espacio de dimensión $2k$

$$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}v_0\ v_1\ \vdots\ v_{2k-2}\ v_{2k-1... ...ight) &=& -v_0v_{2k-1}+v_1v{2k-2}+\cdots-v_{2k-2}v1+v_{2k-1}v0=0 \end{eqnarray*}$$

mostramos el cálculo de los $d_k$ en un caso especial de los espacios de funciones para captar la idea:

asumimos que tengamos solamente 6 $c_k$ diferentes a zero, es decir,

$$\varphi_i^j = \sum_{k=0}^5 c_{k-2i}\varphi_k^1$$

o en otra notación

$$(c_k)_{k\in\bbbz}=(\dots,0,c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,0,\dots)$$

definimos los $d_k$ entonces, por ejemplo, como

$$(d_k)_{k\in\bbbz}=(\dots,0,-c_5,c_4,-c_3,c_2,-c_1,c_0,0,\dots)$$

entonces

$$\psi_i^j = \sum_{k\in\bbbz} d_{k-2i}\varphi_k^{j+1}$$

escribimos los productos escalares de todos los $\varphi_i^j$ y $\psi_i^j$ para comprobar la ortonormalidad

para los $\varphi_i$ tenemos

$$\begin{eqnarray*} \langle\varphi,\varphi\rangle &=& \langle\varphi_0^0,\varphi_... ..._{k=l}c_kc_l\\ &=& c_0^2+c_1^2+c_2^2+c_3^2+c_4^2+c_5^2\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \langle\varphi,\varphi_1^0\rangle &=& \langle\varphi_0^0,\var... ...um_{k=l-2}c_kc_{l-2}\\ &=& c_0c_2+c_1c_3+c_2c_4+c_3c_5\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \langle\varphi,\varphi_2^0\rangle &=& \langle\varphi_0^0,\var... ...gle \\ &=& \sum_{k=l-4}c_kc_{l-4}\\ &=& c_0c_4+c_1c_5\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \langle\varphi,\varphi_2^0\rangle _i\not=0,1,2 &=& 0 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \langle\varphi,\psi\rangle &=& \langle\varphi_0^0,\psi_0^0\ra... ..._5d_5\\ &=& -c_0c_5+c_1c_4-c_2c_3+c_3c_2-c_4c_1+c_5c_0\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

y igual

$$\begin{eqnarray*} \langle\varphi,\psi_1^0\rangle &=&\dots=0\\ \langle\varphi,\p... ...0\\ \langle\varphi,\psi_i^0\rangle _{i\not=0,1,2} &=&\dots=0\\ \end{eqnarray*}$$

y también

$$\begin{eqnarray*} \langle\psi,\psi_i^0\rangle &=&\delta_{i0} \end{eqnarray*}$$

entonces, hemos comprobado que el sistema es ortonormal, y queda la pregunta: es también una base?

(falta algo)