Resumen de lo ya dicho

se usa una función de escalado que suele ser algún tipo de impulso positivo y corto para aproximar una función dada

ya vimos el uso de una función de escalado (p.e. la de Haar) para aproximar una función con una función de escalones sobre intervalos de potencias de 2

$$f \approx \sum_{i,j}c_i^j\varphi_i^j$$

donde $i$ y $j$ definen intervalos de tipo $[i2^j,(i+1)2^j)$ y $\varphi$ cumple la fórmula

$$\varphi_i^j(x)=\sqrt{2^j}\varphi(2^jx-i)$$

dicha aproximación tiene una desventaja grande: no es continua

el cálculo de los coeficientes $c_i^j$ es fácil si las funciones $\varphi_i^j$ forman un sistema ortonormal

$$c_i^j=\langle\varphi_i^j,f\rangle =\int_\bbbr\varphi(x)f(x)dx$$

es decir, se calcula el coeficiente como la media ponderada sobre el intervalo definido por $i$ y $j$

cuanto más pequeños se eligen los intervalos cuanto más parecen dichos valores a un muestreo de la función

también observamos que los espacios vectoriales generados por los $\varphi_i^j$ forman una cadena de espacios de tal forma

$$\cdots\subset V^{-1} \subset V^0 \subset V^1 \subset \cdots$$

donde $\varphi=\varphi_0^0\in V^0$