Representación con las ondículas de Haar

representamos una función con las ondículas de Haar (siendo $i,j \in \bbbz$)

$$\begin{eqnarray*} \psi_i^j(x) &=& \sqrt{2^j}\psi(2^j-i) \\ \psi(x) &=& \left\{... ...\ -1 & 1/2 \leq x < 1 \\ 0 & \mbox{sino} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

se suele llamar la función base no dilatada ni trasladada ondícula madre

tienen las siguiente propriedades

• el soporte de $\psi_i^j$ es $[i2^{-j},(i+1)2^{-j})$

• las $\psi_i^j$ son normalizados
  $$\begin{eqnarray*} \Vert\psi_i^j\Vert^2 &=& \int_{-\infty}^\infty\psi_i^j(x)^2... ...^{(i+1)2^{-j}}\\ &=& 2^j\cdot((i+1)2^{-j}-i2^{-j})\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• los $\psi_i^j$ forman una base ortonormal del ${\rm L}^2(\bbbr)$