Achsenparallele Ellipse mit Zentrum im Koordinatenursprung

Mit $b=0$, $c=-a$, und $d=0$ und wegen

$$\begin{eqnarray*} e=2\cdot\sqrt{a^2+r_y^2} &\mbox{sowie}& e=(r_x-a)+r_x+a \end{eqnarray*}$$

ergibt sich

$$\begin{eqnarray*} 1/4\cdot e^2=a^2+r_y^2 &\mbox{sowie}& 1/4\cdot e^2=r_x^2 \end{eqnarray*}$$

Und man kann $a$ angeben als

$$\begin{eqnarray*} a&=&\sqrt{r_x^2-r_y^2} \end{eqnarray*}$$

und alles in die implizite Gleichung einsetzen:

$$\sqrt{(x-\sqrt{r_x^2-r_y^2})^2+y^2}+ \sqrt{(x+\sqrt{r_x^2-r_y^2})^2+y^2}-2r_x=0$$

Diese Gleichung vereinfacht man leicht (mit Maple!) zu:

$$x = \sqrt{(r_y^2-y^2)}\cdot r_x/r_y$$

oder auch in anderer Form

$$x^2/r_x^2+y^2/r_y^2=1$$

Damit erhalten wie die implizite Form zu:

$$\begin{eqnarray*} F(x,y) &=& r_y^2x^2+r_x^2y^2-r_x^2r_y^2 \end{eqnarray*}$$

Und eine Verschiebung liefert:

$$\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2/r_x^2+(y-y_0)^2/r_y^2&=&1 \end{eqnarray*}$$

Als Aufrufparameter zum Zeichnen einer achsenparallelen Ellipse haben wir also:

DrawEllipse(x0,y0,rx,ry,color)