Transformada de $z$

la transformada de $z$ trabaja con secuencias de números reales y está relacionado con la transformación de Laplace que trabaja con señales continuas, más concreto:

sea $(u_n)_{n\geq 0}$ una secuencia de números reales, es decir, $u_n\in\bbbr$, se asigna a la secuencia la serie

$$U(z)=\sum_{n=0}^{\infty}u_nz^{-n}$$

con $z\in\bbbc$ que en caso de su convergencia se define como la transformada de $z$ de la secuencia

por ejemplo,

• con $(u_n)_{n\geq 0}=(1)_{n\geq 0}$ tenemos
  
  $$U(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}$$
  
  
  que es una serie geométrica que converge si $\vert z\vert>1$, es decir,
  
  $$U(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}$$
  
  
  o en otras palabras, la secuencia $(1)_{n\geq 0}$ tiene la transformada de $z$ si $\vert z\vert>1$ siendo todos los puntos del plano $\bbbz$ fuera del círculo alrededor de (0,0) con radio 1.
• con $(u_n)_{n\geq 0}=(a^n)_{n\geq 0}$, $a\in\bbbr$ tenemos
  
  $$U(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a}{z}\right)^n=\frac{1}{1-az^{-1}}$$
  
  
  si $\vert z\vert>\vert a\vert$

si la secuencia ${\mathbf u}=(u_n)_{n\geq 0}$ es finita, es decir, ${\mathbf u}=(u_n)_{n<N}$, tenemos series geométricas finitas, para los ejemplos:

• con $(u_n)_{n\geq 0}=(1)_{n<N}$ que es un impulso de longitud $N$ tenemos
  
  $$U(z)=\sum_{n=0}^{N-1}z^{-n}=\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}$$
  
  

• con $(u_n)_{n\geq 0}=(a^n)_{n<0}$, $a\in\bbbr$ tenemos
  
  $$U(z)=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{a}{z}\right)^n=\frac{1-a^Nz^{-N}}{1-az^{-1}}$$
  
  

formalmente se puede ampliar las definiciones para tratar también secuencias $(u_n)_{n\in\bbbz}$ que nos llevarían a series de Laurent (que son polinomios que permiten exponentes positivos y negativos), este asunto es importante si tratamos la convolución de secuencias.

anotamos algunas propriedades de la transformada de $z$ que son importantes en nuestro contexto:

inserción de ceros:

insertamos después de cada valor $u_n$ en la secuencia ${\mathbf u}=(u_n)_{n\geq 0}$ un 0 (el proceso se llama ``upsampling'' o ``supramuestreo''),

escribimos la nueva secuencia como ${\mathbf v}=(\uparrow2){\mathbf u}$:

$$((\uparrow2){\mathbf u})_n =\left\{\begin{array}{c@{\quad\mb... ...mbox{par} \\ 0 & n \;\;\mbox{\'{\i}mpar} \end{array}\right.$$

para la transformado de $z$ de la secuencia ${\mathbf v}$ obtenemos

$$V(z)=U(z^2)$$

que se ve usando las definiciones

$$\begin{eqnarray*} V(z) &=&\sum_{n=0}^\infty v_nz^{-n} \\ &=&\sum_{n=0}^\inft... ...2}z^{-2n} \\ &=&\sum_{n=0}^\infty u_n(z^2)^{-n} \\ &=&U(z^2) \end{eqnarray*}$$

replazamiento con ceros:

replazamos cada segundo valor $u_n$ en la secuencia ${\mathbf u}=(u_n)_{n\geq 0}$, dicho proceso se puede describir también en dos fases: primero quitamos cada segundo valor $u_n$ (el proceso se llama ``downsampling'' o ``submuestreo'' o decimación), después hacemos un supramuestreo como descrito arriba,

escribimos la nueva secuencia como ${\mathbf v}=(\uparrow2)(\downarrow2){\mathbf u}$:

$$((\uparrow2)(\downarrow2){\mathbf u})_n =\left\{\begin{array... ...mbox{par} \\ 0 & n \;\;\mbox{\'{\i}mpar} \end{array}\right.$$

para la transformado de $z$ de la secuencia ${\mathbf v}$ obtenemos

$$V(z)=\frac12(U(z)+U(-z))$$

que se ve usando las definiciones

$$\begin{eqnarray*} V(z) &=&\sum_{n=0}^\infty v_nz^{-n} \\ &=&\sum_{n=0}^\inft... ...sum_{n=0}^\infty u_n(-z)^{-n}\right) \\ &=&\frac12(U(z)+U(-z)) \end{eqnarray*}$$

convolución:

sean ${\mathbf u}$ y ${\mathbf v}$ dos secuencias, definimos la convolución de las secuencias como

$$({\mathbf u}*{\mathbf v})_n=\sum_{k\in\bbbz}u_kv_{n-k}$$

está definición tiene solamente sentido, si las sumas convergen, es decir, que los valores de la secuencia resultante son números finitos, está condición está dada siempre cuando una de las dos secuencias iniciales es finita o si pertenecen al espacio $\ell^2(\bbbr)$(secuencias sumables de forma cuadrática)

dadas dos secuencias ${\mathbf u}$ y ${\mathbf v}$ con sus transformadas de $z$ $U(z)$ y $V(z)$, obtenemos para la convolución

$${\mathbf w}={\mathbf u}*{\mathbf v}\qquad W(z)=U(z)V(z)$$

es decir, la convolución de las dos secuencias resulta en una multiplicación de sus transformadas de $z$

transformada de Fourier:

si calculamos la transformado de $z$ (en caso que exista) de una secuencia ${\mathbf u}$ infinita para $z=e^{j2\pi\zeta}$, es decir, nos limitamos al círculo con radio 1 alrededor de (0,0) obtenemos:

$$U(z)=U(e^{j2\pi\zeta})=\sum_{k\in\bbbz}u_ke^{-j2k\pi\zeta} =\sum_{k\in\bbbz}c_ke^{j2k\pi\zeta} = Fu(\zeta)$$

es decir, justamente la transformado de Fourier con los coeficientes de Fourier $c_k=u_{-k}$